reppehi.7m.pl

Найти объем тела двойным интегралом

Объем тела может быть вычислен с помощью тройного интеграла по формуле. В декартовой системе координат тройной интеграл записывается через повторный следующим образом:. Запишем интеграл в цилиндрической системе координат , с которой декартова система связана формулами. Формула перехода в интеграле имеет вид. Для окружности имеем ; угол , очевидно, необходимо менять в пределах от 0 до.

Область — это часть эллиптического кольца на рис. Массу плоской области можно вычислить по формуле. Подставляя заданную плотность в двойной интеграл, для массы получим. Очевидно, что область не является ни -, ни - трапецией; при вычислении двойного интеграла в декартовой системе координат область пришлось бы разбить на три области.

Найдем значения параметра , соответствующие точкам пересечения этих окружностей: Учитывая симметрию тела относительно плоскости , объем запишем в виде следующего повторного интеграла:. Найти объем тела , ограниченного поверхностями. Объем тела может быть вычислен по формуле. Рассматривая тело в декартовой системе координат, видим, что оно не является ни -, ни -, ни -цилиндрическими брусами см.

Тело T в пространстве назовем z - брусом , если оно может быть задано следующим образом: Аналогично введем понятия y - бруса и x - бруса рис. В случае z -бруса. Восстановим область интегрирования по пределам повторных интегралов: Изобразим область интегрирования на чертеже. Найдем точки пересечения параболы и прямой: Вертикальной штриховкой покажем порядок интегрирования: Сменим штриховку на горизонтальную.

При решении следующих задач будут использованы термины, которые мы сейчас введем. Такая область допускает удобную штриховку вертикальными отрезками: Аналогично введем понятие x - трапеции: Для x -трапеции удобна горизонтальная штриховка.

Область , изображенная на рисунке, очевидно не является - трапецией, но является - трапецией:. Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями.

При построении следует преобразовать уравнение направляющей цилиндра , лежащей в плоскости к каноническому виду прибавляя и вычитая 2: Кроме того, при построении следует учесть, что поверхность параболоида пересекается с плоскостью по окружности. Тело является z-цилиндрическим брусом, проектирующимся на плоскость в область , являющуюся -трапецией. Нетрудно убедиться, что и здесь, как и в предыдущем случае, повторный интеграл, записанный в декартовой системе координат, при вычислении требует значительных усилий; поэтому и в этом случае перейдем к цилиндрической системе координат см.

Из рисунка видно, что данная область является -трапецией. Найти объем тела, ограниченного поверхностями. Изобразим на чертеже заданное тело рис.

Чтобы тройной интеграл записать в виде повторного, перейдем в уравнениях ограничивающих тело поверхностей к сферическим координатам. Так как подынтегральная функция представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, а пределы интегрирования постоянны, то повторный интеграл представляет собой просто произведение трех интегралов.

Найдем уравнения поверхностей, ограничивающих тело, в цилиндрической системе координат: Область , являющаяся проекцией тела на плоскость , ограничена окружностью и окружностью так как.

Очевидно, тело есть - цилиндрический брус. Область , являющуюся ортогональной проекцией тела на плоскость , изобразим на отдельном рисунке. Для этого найдем точки пересечения параболы с прямой. Объем цилиндрического бруса может быть найден с помощью двойного интеграла.

Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности. Тело ограничено двумя поверхностями: Изобразим это тело на чертеже рис. Данное тело является -цилиндрическим брусом рис. Найдем область, в которую тело проектируется на плоскость , для чего из уравнений поверхностей, ограничивающих тело, следует исключить переменную то есть совершить ортогональное проектирование:.

Выбор обусловлен соображениями удобства при вычислении интегралов. Положим для заданной области:. Якобиан преобразования вычисляется по формуле. Запишем двойной интеграл в обобщенной полярной системе координат:. В данном случае повторный интеграл есть произведение двух определенных интегралов, так как внутренний интеграл по есть скаляр. Найти массу тела , ограниченного поверхностями: Область ограничена с боков координатными плоскостями и цилиндрической поверхностью. Область является -цилиндрическим брусом.

Масса тела может быть вычислена по формуле:. Цилиндрический брус проектируется на плоскость в криволинейную трапецию D: Преобразуем тройной интеграл в повторный и вычислим его:. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Ulyra Опубликованный материал нарушает ваши авторские права?